L'apprentissage de la musique s'organise autour de la pratique du chant,
qui enseigne les sons
& l'usage du monocorde, sur lequel on mesure les notes.

Dès les débuts de la chrétienté, les seuls textes concernant la facture instrumentale, les Mensuræ monochordi, déclinent les divisions du monocorde et chacune construit une échelle harmonique particulière selon l'ordre des opérations.
Après les genres de l'Antiquité, au 13^e siècle apparaissent des procédures de chromatisation et l'introduction de tierces pendant le 15^e.
Cette évolution se retrouve dans les tracés.

la base théorique:
Voici les notes qui se trouvent sur le monocorde ...
nous avons préféré abonder que de manquer.
>Micrologus, Gui d'Arezzo.

Concrètement, les notes mesurées sur le monocorde sont géométriquement organisées par le tracé, à la manière d'une composition musicale.
La console, arm, brazo, est mesurée par l'unitée. Ses courbes & l'arc des chevilles sont tracés au compas, les principales ouvertures suivant des proportions d'octave 8^e, de quarte 4^e ou de quinte 5^e.
L'axe de la table d'harmonie définit l'autre côté du plan de cordes.

une mémoire conservée:
> the queen mary, début du 16^e siècle.

Ramenés à une même valeur du pied, tous les relevés qui suivent
montrent pour chaque harpe, les principaux arcs de construction & le plan de cordes, selon les longueurs théoriques déduites de la division du monocorde.

- relevés d'après les premières représentations peintes ou sculptées,
comparées avec une vièle, longueur de corde 1 pied:

La juste proportion, où la longueur des cordes double à chaque octave, est généralement respectée pour les instruments de 2 octaves.

Pour 3 octaves, les tracés suivent facilement un triple carré qui allonge la silhouette de l'instrument. Lors du passage à l'octave, la longueur des basses peut être ramenée aux 2/3 & la grosseur de la corde, augmentée dans le même rapport.

- relevés sur des instruments originaux,
comparés avec une guitare, longueur de corde 2 pieds:

Les principaux tracés théoriques, très élégants & faciles à mémoriser, sont enseignés avec l'art du compas. Ils sont connus même par les non-lettrés & utilisés aussi bien pour réaliser l'instrument que pour le représenter.

une erreur de restitution sur un tracé précis:
> le retable de Gand, 1432.

Hors de la juste proportion, les cordes sont, soit moins longues que leur longueur théorique, comme très souvent pour les basses, soit plus longues.
Pour une même chanterelle, la modification de la longueur produit des effets semblables: plus longue, elle gagne en souplesse malgré la sur-tension; plus courte, elle est moins tendue & plus souple à l'attaque. Chaque option, soigneusement préméditée, influe avant tout sur le timbre & correspond au choix d'une esthétique sonore.

3 variations sur un thème:
> cathédrale de Freiberg, 1590.

Le tracé, comme l'accord, reste un éternel compromis entre le désir d'harmonie, les intervalles nécessaires à sa modulation et la finesse des perceptions. Comme l'expérimentent chaque jour les musiciens, toute méthode est polie par le pélerinage de la pratique.

1889 Erard >
arcs: 8^e & 5^e

Les anges musiciens du 15^e s. peints avec une étonnante précision
présentent des harpes soprani d'une grande finesse.Instruments de solistes, leur voix timbrée par les harpions va être copiée par les claviers:

Pour un Γ donné,
chaque proportion détermine la hauteur et la longueur d'une note
& pour chacune, l'ouverture de compas correspondante.
Dans le Prologue à l’Antiphonaire, Gui d’Arezzo utilise une couleur pour distinguer la ligne qui porte la lettre-clef: F (fa) rouge et C (ut) safran.Cette convention a été reprise sur la harpe avec le C (do) rouge et le F (fa) bleu.
Ont été ajoutés le G (sol) orange, le A (la) jaune et le D (ré) vert.
La longueur des cordes figurées dans ces tracés est celle des longueurs théoriques.

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Concernant les instruments à cordes, les premiers témoignages proviennent d’écrits "techniques" du monde arabe.
Au 9^e siècle, Al-Kindy livre des informations précises sur la conception du luth : la longueur devra être le double de sa largeur, la profondeur la moitié de sa largeur, le manche le quart de sa longueur. Le plan s’inscrit donc dans un double carré, figure que l’on retrouve utilisée par Safi al-Din ‘Abd al-Mu’min lorsqu’il dessine un luth au compas vers 1333.
- Christian Rault, Géométrie médiévale. Royaumont 1994.

Bien que la tension puisse y suppléer, néanmoins l'harmonie sera plus parfaite si l'on observe les raisons harmoniques à la longueur et à la grosseur des cordes.
- Marin Mersenne, L'Harmonie universelle, Livre III, proposition VI. Paris 1636.

A la fin du 18^e siècle, Willam Beauford propose une amélioration du tracé de la console des harpes gaëliques à l'aide des cycloïdes. Il s'appuie sur des usages bien établis, qui vont sans dire, dont il dévoile quelques aspects.

En numération duodécimale, les calculs se résolvent sur l’abaque à jetons et sont affaires de professionnels. Le compas qui, par la vesica piscis, mesure en une ouverture et deux mouvements, la moitié et le triple d’une valeur tout en déterminant deux axes orthonormés, est l’outil fondamental, tant pour la conception que pour la construction et son usage bénéficie de millénaires de pratique et d’échanges.

       L’octave est un intervalle plus petit que six tons.
La répartition de cette différence énoncée par Euclide, ainsi que la dimidiation de l’octave, ou, si l’octave qui possède des doubles peut avoir une moitié, ont conduit à la question de l’irrationalité dans la mathématique grecque. Sous l’égide de la philosophie, la musique est intimement liée aux calculs de la division et des nombres complexes.